Здравствуйте! В методичке Алексея Андреевича Пожарского в доказательстве теоремы Римана об аналитическом продолжении используется интегральная теорема Коши, при этом нигде не упомянут факт, что рассматриваемая область односвязна. Нужно ли добавить в условие теоремы требование односвязности областей?

Теорема 9.4 справедлива и для неодносвязных областей D1 и D2, поэтому требование односвязности лишнее. Приведенное доказательство напрямую верно лишь для односвязных областей D1, D2 и D, ведь теорема 3.3 и теорема 3.26 относятся к односвязным областям. Но его простая модификация позволяет обсудить общий случай. Фактически в формулировке теоремы предъявлена функция F и требуется проверить лишь ее регулярность. Регулярность -- существование комплексной производной в каждой точке области D (см. определение 2.8). В областях D1 и D2 функция регулярна по условию, поэтому вопрос вызывает существование комплексной производной на общей части границы gamma. Для того чтобы ее проверить, проведем старое доказательство в некоторой малой окрестности кривой gamma, которую можно считать односвязной, не умаляя общности.

View more