はじめまして！ヤマケンです！ご質問ありがとうございます。
成る程、その気持ちはよく分かります！
しかし中々難しい質問ですね・・・・うーん。
多分このアイディアを製品にしたら、地味に売れる気がしてなりません。僕が知っている限りでは良い感じのグッズにありません。すみません。

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良い方法ですが、グリルに保温スペースを設けておくのが一つ挙げられるかと思います。
下記記事に有るように、炭のゾーニングで炭を少なく配置した場所を保温スペースとして使用して、お子さんが食べきりそうなタイミングで器に移して上げる方法だとどうでしょうか。焼けたやつをアルミホイルの中にいれて保温状態にするというか。
http://goo.gl/nrbhDS
手順的にはこんな感じ。

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1. 炭が少ない or 炭を置かないスペースを作る。
2. アルミホイルで器を作って、1.で作ったスペースの網の上に置く
3. 焼けたやつをそのアルミホイルの中に入れていく
4. お子さんの様子を見つつサーブ

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結局お子さんの様子を見ながらになってしまうんですが、これで多少はマシになるんではないかと思います。
中々クリティカルなお答えが出来なくてほんとすみません・・・・
でも、家族とバーベキューかぁ・・・いいなぁ・・・・