連絡先を知った途端に、猛烈に連絡をくれる人のことは鬱陶しいと思ってしまうのに、自分がいいと思った人には猛烈に連絡をとりたくなってしまうこの性質をどうしたらいいでしょうか。

それがあなたなのですから、性質なんてそうそうどうにかできるものではないでしょう。
僕は猛烈に連絡するタイプではありませんが、連絡をもらえるととても嬉しいので、まあ世の中うまく回っていくんじゃないでしょうか。
対自分と対他人をごっちゃにして、無駄に自分を縛ってしまうのはもったいないですよ。