いいと思います。有効期限がある言葉って 存在しますよ。

逆にこっちが落ち込んでしまった、というところが相手のせいにしているように感じます。（受け取れます。）悪いことしたな、申し訳なかったって意味ですか？
すぐに次の約束を取り付けようとせず、適当に謝ったりせずきちんと謝ったら少し様子を見てみてはどうでしょう。

誠意を持って
ちゃんと説明して伝えましょう
この質問文を書けたのですからできます
大丈夫ですよ

なら最初から適当に受け答えしなきゃよかったのに……多分難しいんじゃないですかね

「○○会いませんか？」でいいと思う

その適当なLINEがどれくらい適当だったのかわかりませんが、私の経験上、謝ってるのにまともに取り合ってくれない人は高確率で地雷だと思います。
そのメッセージがいいかどうかの判断は難しいですが、私がその相手の立場なら、あなたを都合のいい女性だと感じる気がします。

それ送ると重そうだし、そもそも相手は気が立ってそうなので1日くらい放置するのがよさそう

"こっちが落ち込んでしまった"という言い草は不愉快さを人のせいにしているようで良くないですね。本意は申し訳なく思った、反省しているということだろうと思います。
「あんなこと言わなきゃ良かった」「こう言えばよかった」なんていうのはよくあることですから、余程失礼な振る舞いでなければ許されるべきですけど、今すぐ約束を取り付けようとするのは下策かも知れません。次に時間に余裕ができたときにでもご機嫌伺いをしてみてはどうでしょう。